পিয়ের দ্য ফার্মা

পিয়ের দ্য ফার্মা (ইংরেজি: /fɜːrˈmɑː/; ফরাসি: [pjɛʁ də fɛʁma]; ১৬০১ – ১৬৬৫) ছিলেন একজন ফরাসি গণিতবিদ, যিনি অণুকলনের প্রাথমিক বিকাশের পথিকৃৎ হিসেবে স্বীকৃত। এর মধ্যে তাঁর "অ্যাডেকোয়ালিটি" পদ্ধতিও উল্লেখযোগ্য। বিশেষভাবে, তিনি বক্ররেখার সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন অর্ডিনেট নির্ণয়ের একটি মৌলিক পদ্ধতি আবিষ্কারের জন্য পরিচিত, যা পরবর্তীতে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের অনুরূপ ছিল (যদিও সে সময় এটি অজানা ছিল)। এছাড়া সংখ্যা তত্ত্বে তাঁর গবেষণা গাণিতিক ইতিহাসে মাইলফলক হিসেবে চিহ্নিত। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, এবং আলোকবিজ্ঞান প্রভৃতি ক্ষেত্রেও তাঁর উল্লেখযোগ্য অবদান রয়েছে। আলোর প্রসারণে "ফার্মার নীতি" এবং সংখ্যা তত্ত্বের "ফার্মার শেষ উপপাদ্য" তাঁর সবচেয়ে বিখ্যাত আবিষ্কার। এই উপপাদ্যটি তিনি ডাওফ্যান্টাসের "এরিথমেটিকা" গ্রন্থের একটি কপির মার্জিনে টিপ্পনী আকারে লিপিবদ্ধ করেছিলেন। পেশাগত জীবনে তিনি ফ্রান্সের তুলুজ শহরের পার্লামেন্টে আইনজীবী হিসেবেও কর্মরত ছিলেন।

ফার্মার মৃত্যুর পর তিন শতাব্দীরও অধিক সময় ধরে গণিতবিদরা ১৬৩৭ সালে প্রস্তাবিত ফার্মার শেষ উপপাদ্যটি প্রমাণ করার চেষ্টা করেন। অবশেষে ১৯৯৫ সালে ইংরেজ গণিতবিদ অ্যান্ড্রু ওয়াইলস উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে সক্ষম হন। প্রমাণিত হওয়ার আগে এটি গিনেস বুক অব ওয়ার্ল্ড রেকর্ডসে "সবচেয়ে কঠিন গাণিতিক সমস্যা" হিসেবে তালিকাভুক্ত ছিল, কারণ এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করার প্রচেষ্টায় গণিতবিদরা সর্বাধিক বার ব্যর্থ হয়েছেন।

"আমি এটির একটি অত্যন্ত সুন্দর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছি, কিন্তু এই মার্জিনের সংকীর্ণ পরিসর তা ধারণ করতে অক্ষম।" ~ ফার্মা

উক্তি

• এবং এই প্রস্তাবনাটি সমস্ত মৌলিক সংখ্যা ও সমস্ত মৌলিক সংখ্যার ক্রমের জন্য সাধারণভাবে সত্য; এর প্রমাণ আমি আপনার কাছে পাঠাতাম, যদি না তা অত্যধিক দীর্ঘ হওয়ার আশঙ্কা করতাম।
  _{[ফরাসি মূল: Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.]}
  • পিয়ের দ্য ফার্মা, ফ্রেনিকল ডি বেসিকে লেখা চিঠি (১৮ অক্টোবর, ১৬৪০)। ফার্মার এই বক্তব্যের উপর মন্তব্য করে যে: একটি সংখ্যা p, (a ^p−1 − 1)কে নিঃশেষে ভাগ করে যখন p মৌলিক সংখ্যা এবং a ও p পরস্পর সহমৌলিক হয়, যা এখন ফার্মার ছোট উপপাদ্য নামে পরিচিত।

• একটি ঘন ঘাতকে দুটি ঘন ঘাতে, একটি চতুর্ঘাতকে দুটি চতুর্ঘাতে, বা সাধারণভাবে, দ্বিতীয় ঘাতের চেয়ে উচ্চতর কোনো ঘাতকে দুটি সমজাতীয় ঘাতে বিভক্ত করা সম্ভব নয়। আমি এটির একটি অত্যন্ত সুন্দর প্রমাণ খুঁজে পেয়েছি, কিন্তু এই মার্জিনের সংকীর্ণ পরিসর তা ধারণ করতে অক্ষম।
  _{[ফরাসি মূল: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.]}
  • ক্লদ-গাসপার ব্যাশের অনূদিত ডাওফ্যান্টাসের "এরিথমেটিকা" গ্রন্থের মার্জিনে লেখা ফার্মার বিখ্যাত উদ্ধৃতি এটি। উদ্ধৃতিটি ম্যানফ্রেড রবার্ট শ্রোয়েডারের Number Theory in Science and Communication (১৯৯৭) গ্রন্থে সংকলিত হয়েছে।
  • টি. হিথ, "ডাওফ্যান্টাস অব আলেকজান্দ্রিয়া" দ্বিতীয় সংস্করণ, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ১৯১০, ডোভার, এনওয়াই দ্বারা পুনর্মুদ্রিত, ১৯৬৪, পৃষ্ঠা ১৪৪–১৪৫
  • ইউ. আই. মানিন, আলেক্সি এ. পাঞ্চিসকিন,"আধুনিক সংখ্যা তত্ত্বের ভূমিকা: মৌলিক সমস্যা, ধারণা এবং তত্ত্ব" পৃষ্ঠা ৩৪১

• গণিতজ্ঞদের মধ্যে প্রকৃত পাটিগণিতিক সমস্যা উত্থাপনকারীর সংখ্যা অত্যন্ত বিরল, আর যারা এগুলি বুঝতে পারেন তারাও কম। এর কারণ কি এই নয় যে এযাবৎ কাল পাটিগণিতকে জ্যামিতির চশমা দিয়ে দেখা হয়েছে, স্বয়ং পাটিগণিতের দৃষ্টিভঙ্গি নয়? প্রাচীন ও আধুনিক বহু গ্রন্থে এই প্রবণতার স্পষ্ট প্রমাণ মেলে। ডাওফ্যান্টাসও এই সত্যের ইঙ্গিত দিয়েছেন। তবে তিনি অন্যদের চেয়ে কিছুটা মুক্ত হয়েছিলেন জ্যামিতি থেকে—তিনি তাঁর বিশ্লেষণ শুধুমাত্র মূলদ সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ রেখেছিলেন। কিন্তু ভিয়েতার "জেটেটিকা" (যেখানে ডাওফ্যান্টাসের পদ্ধতিকে অবিচ্ছিন্ন রাশি ও জ্যামিতিতে সম্প্রসারিত করা হয়েছে) প্রমাণ করে যে পাটিগণিতকে জ্যামিতি থেকে পুরোপুরি আলাদা করা সম্ভব হয়নি। অথচ পাটিগণিতের নিজস্ব একটি ক্ষেত্র রয়েছে—সংখ্যা তত্ত্ব।
  ইউক্লিড তাঁর "এলিমেন্টস"-এ এই বিষয়টি সংক্ষেপে স্পর্শ করেছিলেন, কিন্তু পরবর্তী গণিতবিদরা যথেষ্ট সম্প্রসারণ করেননি। হয়তো ডাওফ্যান্টাসের সেই সকল গ্রন্থে এর বিস্তারিত ব্যাখ্যা ছিল, যা কালের গর্ভে বিলুপ্ত হয়েছে। এখন সংখ্যাতাত্ত্বিকদের কর্তব্য এটি পুনর্গঠন বা উন্নয়ন করা। এই পথে অগ্রসর হওয়ার লক্ষ্যে, আমি নিম্নোক্ত উপপাদ্যটির প্রমাণ বা সমস্যাটির সমাধান প্রস্তাব করছি। যদি কেউ এর প্রমাণ খুঁজে পান, তাহলে তিনি স্বীকার করবেন যে গভীরতা, জটিলতা বা প্রমাণের পদ্ধতিতে জ্যামিতির বিখ্যাত সমস্যার চেয়ে এগুলি কোনো অংশেই কম নয়:
  উপপাদ্য:
  "যে কোনো বর্গ-নয় এমন সংখ্যা (non-square) দেওয়া থাকলে, অসীম সংখ্যক বর্গ সংখ্যা বিদ্যমান, যাদেরকে প্রদত্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করে গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে ফলাফলও একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।"
  • ফ্রেনিকল ডি বেসি (১৬৫৭) এর কাছে লেখা চিঠি, Oeuvres de Fermat খণ্ড II, এডওয়ার্ড এভারেট হুইটফোর্ডের উদ্ধৃতি অনুসারে, The Pell Equation (১৯১২)

• আমার গবেষণার ফলাফল অত্যন্ত অসাধারণ, অপ্রত্যাশিত এবং সৌভাগ্যজনক—যা আগে কখনোই হয়নি। আমার পদ্ধতির সমস্ত সমীকরণ, গুণন, বৈপরীত্য এবং অন্যান্য সকল প্রক্রিয়া সম্পন্ন করার পর, যখন আমি সমস্যাটির সমাধানে পৌঁছালাম, তখন দেখলাম যে আমার নীতিই ঠিক সেই একই অনুপাত দিচ্ছে যা মঁসিয়ে দেকার্ত প্রতিসরণের জন্য প্রতিষ্ঠিত করেছিলেন।
  • এপিস্ট. XLII, তুলুজ (জানুয়ারী ১, ১৬৬২)-এ উল্লেখিত এবং Œvres de Fermat, ii, পৃষ্ঠা ৪৫৭; i, পৃষ্ঠা ১৭০, ১৭৩-এ পুনর্মুদ্রিত, ই. টি. হুইটেকার দ্বারা উদ্ধৃত, A History of the Theories of Aether and Electricity from the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century (১৯১০) পৃষ্ঠা ১০

ফার্মা সম্পর্কিত উক্তি

• ফার্মার শেষ উপপাদ্য অনুসারে, যদি n একটি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং ২-এর চেয়ে বড় হয়, তবে $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ সমীকরণটি সিদ্ধ করার মতো কোনো পূর্ণসংখ্যক মান $x,y,z$ পাওয়া সম্ভব নয়। ... সম্ভবত ফার্মা কোনো ভ্রান্ত ধারণার ভিত্তিতে এই উপপাদ্যটি প্রণয়ন করেছিলেন, যদিও এটাও অনুমানযোগ্য যে তিনি একটি সহজ গাণিতিক প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন। যাই হোক, তিনি দৃঢ়ভাবে দাবি করেছিলেন যে তাঁর কাছে একটি সহজ প্রমাণ রয়েছে—"অসাধারণ একটি প্রমাণ" (demonstratio mirabilis sane)—এবং এটা সত্য যে তাঁর উল্লিখিত কোনো উপপাদ্যই পরবর্তীতে ভুল প্রমাণিত হয়নি, তাই তা (বক্তব্য) তাঁর পক্ষে জোরালো যুক্তি বহন করে; বিশেষত এই কারণে যে তিনি তাঁর রচনায় একটি মাত্র ভুল দাবি করেছিলেন (বাইনারি সূচক সংক্রান্ত), এবং সেটির সন্তোষজনক প্রমাণ তিনি পাননি বলে স্বীকারও করেছিলেন। ... ফার্মার প্রস্তাবিত কিছু সরল ফলাফল প্রমাণ করতে এক শতাব্দীরও বেশি সময় লেগেছিল। তাই, জীবনের শেষপ্রান্তে তিনি যে উপপাদ্যটির প্রমাণে সফল হয়েছিলেন, সেটির গভীরতা ও জটিলতা স্বাভাবিক। ... তবে আমার ব্যক্তিগত অনুমান যে, ক্রমিক ভগ্নাংশ তাঁর গবেষণায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রেখেছিল। এই অনুমানকে শক্তিশালী করার জন্য উল্লেখ করা যায় যে, ফার্মার কিছু গূঢ় ফলাফল—যেমন $4n+1$ আকারের মৌলিক সংখ্যাকে দুটি বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশযোগ্য—ক্রমিক ভগ্নাংশের ধর্ম ব্যবহার করে অপেক্ষাকৃত সহজেই প্রমাণ করা যায়।
  • ডব্লিউ. ডব্লিউ. রাউস বল,ম্যাথমেটিক্যাল রিক্রিয়েশনস এন্ড ইসেইজ (১৯২০) পৃষ্ঠা ৪০-৪৩

• দেকার্তের স্পর্শক ও অভিলম্ব নির্ণয়ের পদ্ধতিটি... যুগান্তকারী কোনো উদ্ভাবন হয়ে উঠতে পারেনি। নিউটনের হাত ধরে সম্প্রসারিত ফার্মার কৌশলের কাছে তা অচিরেই ম্রিয়মাণ হয়ে যায়। ফার্মার পদ্ধতির মর্মকথা হলো—একটি ছেদক রেখা ক্রমাগত সীমাবিন্দুর দিকে অগ্রসর হওয়ার মাধ্যমে চূড়ান্তভাবে স্পর্শকে পরিণত হয়; আজকের ক্যালকুলাসেও এই ভাবনাই মূর্ত হয়ে আছে। ...স্পর্শক নির্ণয়ের এই স্বতঃস্ফূর্ত গাণিতিক কৌশলের জন্যই ইতিহাস সাক্ষ্য দেয়, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের সূচনাপর্বে ফার্মাই নিউটনের পূর্বসূরি হিসেবে অগ্রগণ্য ভূমিকা রাখেন।
  • এরিক টেম্পল বেল, গণিতের বিকাশ (১৯৪০)

• গণিতবিদদের জন্য ইতিহাসচর্চার অপরিহার্যতা বুঝতে ফার্মার চেয়ে উজ্জ্বলতর দৃষ্টান্ত হয়তো কল্পনাতীত। নিঃসংশয়ে বলা যায়, অ্যাপোলোনিয়াসের জ্যামিতি আর ভিয়েতের বীজগণিতের সাথে তাঁর আত্মিক বোঝাপড়া না থাকলে, বিশ্লেষণী জ্যামিতির সেই মহাকাব্যিক সূচনা তিনি কখনোই রচনা করতে পারতেন না।
  • কার্ল বি. বয়ার, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ইতিহাস (১৯৫৬) ভূমিকা, পৃ. viii.

• ফার্মার গণিতচর্চায় প্রকৃতির সঞ্চয়নীতি ছিল এক স্বর্গীয় অনুপ্রেরণা। প্রাচীন গ্রিক পণ্ডিত হেরো ও অলিম্পিওডোরাসের দৃষ্টিতে প্রতিফলিত আলোকরশ্মি যেন মহাবিশ্বের জ্যামিতিক নীতিমালায় নৃত্য করত—সর্বনিম্ন পথের সেই নিখাদ নৈপুণ্যে কোণের সমতা উদ্ভাসিত হতো। মধ্যযুগের প্রাজ্ঞ আলহাজেন ও গ্রোসটেস্টে অনুমান করেছিলেন প্রতিসরণের রহস্যেও লুকিয়ে আছে প্রকৃতির এই মিতব্যয়ী হস্ত, কিন্তু সূত্রের সোনালি চাবিটি তাদের হাতছাড়াই রয়ে গেল।
  ফার্মা কিন্তু দেকার্তের প্রদীপ্ত আলোয় প্রতিসরণ সূত্র আত্মস্থ করার পাশাপাশি সৃজন করলেন এক যুগান্তকারী কৌশল—এক চলকের ফাংশনের চূড়া ও গহ্বর খুঁজে বের করার সেই জাদুকাঠি, যা পরবর্তীতে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মহীরুহে পরিণত হয়। ...যখন ফার্মা তাঁর এই যাদুকরি পদ্ধতির প্রয়োগ করে প্রতিসরণের পথের রহস্য উন্মোচন করলেন, বিস্ময়ে নতজানু হলেন এই দেখে যে — গণিতের মসীপাত্র থেকে উৎসারিত সূত্র দেকার্তের সোনালি অক্ষরগুলিকে পুনরায় লিখে দিচ্ছে!
  কিন্তু বিধাতার এই লীলায় ছন্দপতন ঘটালেন দেকার্ত। ফার্মার কল্পনায় পানিতে আলোর গতি ছিল বাতাসের চেয়ে ধীর—একটি নিস্তব্ধ জলাশয়ে ডুবে যাওয়া সূর্যাস্তের ন্যায়; দেকার্তের তত্ত্বে তা উল্টো হয়ে ঝলসে উঠল—যেন আগ্নেয়গিরির লালা নির্গমনের দ্রুততা। এই এক সূত্রের মাঝেই দুই মহিমান্বিত মস্তিষ্কের দর্শনের দ্বৈতস্বর, বিজ্ঞানের ইতিহাসে এক চিরন্তন পলিমাটির স্তর।
  • কার্ল বি. বয়ার, দ্য রেইনবো: ফ্রম মিথ টু ম্যাথমেটিক্স (১৯৫৯), ভূমিকা

• ফার্মা যখন একটি ফাংশনের পরপর মানের মধ্যে অসীম ক্ষুদ্র পার্থক্যের ধারণা প্রবর্তন করেন এবং সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের নীতি উদ্ভাবন করেন, তখন ল্যাগ্রাঞ্জ, ল্যাপলাস ও ফুরিয়ারের মত গণিতবিদরা দাবি করেন যে, ফার্মাকে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের প্রথম উদ্ভাবক হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে। তবে এই দৃষ্টিভঙ্গি সঠিকভাবে গৃহীত হয়নি, যা পরবর্তীতে ফরাসি গণিতবিদ পোয়াসোঁর মন্তব্য থেকে স্পষ্ট হবে। তিনি যথার্থই উল্লেখ করেন যে, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মূল বিষয় হলো—
  "সমস্ত ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল নির্ণয়ের জন্য একটি সুসংগঠিত নিয়ম-পদ্ধতি, কোনো একটি বা দুটি বিচ্ছিন্ন সমস্যার সমাধানে অসীম ক্ষুদ্র পরিবর্তনের প্রয়োগের চেয়ে অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ।"
  • ফ্লোরিয়ান ক্যাজোরি, আ হিস্ট্রি অব ম্যাথমেটিক্স (১৮৯৩)

• জে.এম. চাইল্ড, ব্যারোর কাজ নিয়ে গভীর গবেষণা করেছেন এবং ক্যালকুলাসের উদ্ভাবক সংক্রান্ত ঐতিহাসিক বিতর্কে চমকপ্রদ সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন। তিনি তাঁর যুক্তির মূল কথাটি প্রথম বাক্যেই ইটালিক করে উল্লেখ করেছেন: "আইজ্যাক ব্যারোই ছিলেন অণুকলনের প্রথম উদ্ভাবক..."
  চাইল্ডের প্রমাণ পরীক্ষা করার আগে, ক্যালকুলাসের উদ্ভাবক হিসেবে অন্যান্য ব্যক্তিদের দাবি নিয়ে আলোচনা করা প্রাসঙ্গিক। উদাহরণস্বরূপ, ল্যাগ্রাঞ্জ, ল্যাপলাস এবং পি. ট্যানারির মতো বিশিষ্ট গণিতবিদরা ফার্মাকে ক্যালকুলাসের প্রথম উদ্ভাবক বলে দাবি করেছিলেন। কিন্তু গণিতবিদদের সাধারণ সম্মতিতে, "ডিফারেনশিয়াল ও ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস" নামে পরিচিত গাণিতিক শাখার সৃষ্টি ব্যারো বা ডাইনোস্ট্রাটাসের মতো প্রাচীন চিন্তাবিদদের হাতে হয়নি। দুটি প্রক্রিয়া একই ফল দিলেও সেগুলো একই নয়।
  ব্যারো মূলত জ্যামিতিক উপপাদ্যের মাধ্যমে এমন কিছু নির্মাণ পদ্ধতি উদ্ভাবন করেছিলেন, যা থেকে রেখা, ক্ষেত্রফল বা আয়তনের মান বের করা যায়—এগুলো সাধারণত ক্যালকুলাসের বিশ্লেষণধর্মী পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হয়। তবে ব্যারোকে ডিফারেনশিয়াল ও ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের উদ্ভাবক বলা হলে তা গত দুই শতাব্দীর গাণিতিক সংজ্ঞা ও চিন্তাধারার সাথে সাংঘর্ষিক। এই আবিষ্কারের সঠিক কৃতিত্ব নিউটন ও লাইবনিজের প্রাপ্য, যারা এর পূর্ণাঙ্গ গাণিতিক কাঠামো ও প্রয়োগপদ্ধতি প্রতিষ্ঠা করেন।
  • ফ্লোরিয়ান ক্যাজোরি,"ক্যালকুলাসের প্রথম আবিষ্কারক কে ছিলেন?", পৃষ্ঠা ১৫-২০;দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি (জানুয়ারী ১৯১৯) খণ্ড ২৬, ১ নং।

• ফার্মা তার স্পর্শক নির্ণয়ের পদ্ধতি বহু জটিল সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করেছিলেন। এই পদ্ধতির গঠনপ্রণালী বর্তমানের ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মানক পদ্ধতির মতো হলেও, এতে (সীমা তত্ত্বের) জটিল ধারণাটিকে সম্পূর্ণভাবে উপেক্ষা করা হয়েছে।
  • মরিস ক্লাইন, "ম্যাথমেটিক্যাল থট ফ্রম এনসিয়েন্ট টু মডার্ন টাইমস" (১৯৭২)

• ফার্মা জানতেন যে আলোর প্রতিফলনে এটি সর্বনিম্ন সময়ের পথ বেছে নেয়। প্রকৃতি সরলভাবে কাজ করে—এই বিশ্বাস থেকে তিনি ১৬৫৭ ও ১৬৬২ সালের চিঠিতে তার সর্বনিম্ন সময়ের নীতি প্রকাশ করেন। এই নীতির মূল কথা হলো: "আলো সর্বদা সর্বনিম্ন সময়ে যে পথে চলতে পারে, সে পথই বেছে নেয়।"
  প্রথমে ফার্মা আলোর প্রতিসরণ সূত্রের সঠিকতা নিয়ে সন্দিহান ছিলেন। কিন্তু ১৬৬১ সালে যখন তিনি দেখলেন যে এই সূত্রটি তার নীতি থেকে উদ্ভাবন করা সম্ভব, তখন তার সন্দেহ দূর হয় এবং তার নীতির সত্যতা সম্পর্কে আরও আত্মবিশ্বাসী হন।
  পরবর্তীতে হাইগেন্স, যিনি প্রথমে ফার্মার নীতির বিরোধিতা করেছিলেন, প্রমাণ করেন যে পরিবর্তনশীল প্রতিসরাঙ্ক বিশিষ্ট মাধ্যমেও আলোর গতিপথে এই নীতি প্রযোজ্য। এমনকি নিউটনের গতির প্রথম সূত্র—"কোনো বস্তুর স্বাভাবিক গতি সরলরেখা বা সবচেয়ে কম দূরত্বে সম্পন্ন হয়"—ও প্রকৃতির সরলতাকে নির্দেশ করে।
  এই উদাহরণগুলো থেকে বোঝা যায় যে প্রকৃতিতে হয়তো একটি সর্বজনীন নীতি কাজ করছে। এই ধারণাকে সামনে রেখেই মোপের্তুই প্রকৃতির এমন একটি গাণিতিক নীতি খোঁজার চেষ্টা শুরু করেন, যা বিভিন্ন ঘটনাকে একই সূত্রে ব্যাখ্যা করতে পারে।
  • মরিস ক্লাইন, "ম্যাথমেটিক্যাল থট ফ্রম এনসিয়েন্ট টু মডার্ন টাইমস" (১৯৭২)

• ফার্মাকে আধুনিক ক্যালকুলাসের প্রথম উদ্ভাবক বলা যায়। তার De maximis et minimis পদ্ধতিতে, কোনো রাশির সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান খুঁজতে তিনি সেই রাশিকে একটি অনির্দিষ্ট পরিমাণ (e) দ্বারা পরিবর্ধিত রাশির সাথে সমীকৃত করেন। সমীকরণ থেকে মূল ও ভগ্নাংশ অপসারণের পর, উভয় পক্ষের সাধারণ পদ বাতিল করে অবশিষ্ট পদগুলোকে e দিয়ে ভাগ করেন। শেষে e = 0 ধরে অজানা চলকের মান বের করেন।
  ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসেও একই নীতি: সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন রাশির ডিফারেনশিয়াল শূন্য ধরা হয়। ফার্মা e = 0 করে যেসব পদ বাদ দিতেন, ডিফারেনশিয়ালে সেগুলোই অসীম ক্ষুদ্র হিসেবে উপেক্ষিত। এই মৌলিক সাদৃশ্যই ফার্মাকে ক্যালকুলাসের অগ্রদূত করে তোলে।
  ফার্মার স্পর্শক নির্ণয়ের পদ্ধতিও একই যুক্তির উপর ভিত্তিশীল। বক্ররেখার সমীকরণে ভুজ (x) কে e দ্বারা বাড়ালে নতুন অর্ডিনেট (y) বক্ররেখা ও স্পর্শক উভয়ের জন্য প্রযোজ্য হয়। এই শর্ত থেকে সমীকরণ গঠন করে তিনি সর্বোচ্চ/সর্বনিম্নের পদ্ধতি প্রয়োগ করেন।
  এখানে e হলো ডিফারেনশিয়াল dx, এবং ye/t (যেখানে t উপস্পর্শক) হলো dy-এর সমতুল্য। লাইবনিজও ১৬৮৪ সালে Nova methodus-এ dy/dx কে y/t-এর সাথে তুলনা করেন, যা ফার্মার পদ্ধতির সাথে তার গাণিতিক সাদৃশ্য প্রতিষ্ঠা করে।
  ফার্মার ধারণা যুগান্তকারী হলেও সমসাময়িক গণিতবিদরা এর গভীরতা ধরতে পারেননি। তিনি সমীকরণে একটি অনির্দিষ্ট পরিমাণ (e) যোগ করতেন, যা প্রশ্নের প্রকৃতিতে শূন্য হওয়া উচিত—কিন্তু সমীকরণকে e দিয়ে ভাগ করার পরই তা শূন্য ধরা হতো। এই পদ্ধতি ক্যালকুলাসের ভিত্তি হলেও, তা প্রায় ৪০ বছর অবহেলিত থাকে।
  ১৬৭৪ সালে আইজ্যাক ব্যারো ফার্মার ধারণাকে পুনর্ব্যাখ্যা করেন। তিনি e-কে অসীম ক্ষুদ্র বাস্তব পরিমাণ হিসেবে চিহ্নিত করে স্পর্শক নির্ণয়ের পদ্ধতি দেন। তার "অসীম ক্ষুদ্র ত্রিভুজ" (ভুজের বৃদ্ধি e, অর্ডিনেটের বৃদ্ধি ey/t, ও বক্ররেখার অসীম ক্ষুদ্র অংশ) ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের জন্ম দেয়।
  ফার্মার ধারণা ছিল মৌলিক কিন্তু অস্পষ্ট। তিনি e যোগ করে আসলে ডেরিভেটিভ ফাংশন তৈরি করতেন, যা সর্বোচ্চ/সর্বনিম্নে শূন্য হয় এবং স্পর্শকের অবস্থান নির্ণয় করে। কিন্তু সমসাময়িকরা এটিকে কেবল "কিছু নির্দিষ্ট সমস্যার কৌশল" ভাবতেন। নিউটন ও লাইবনিজ ফার্মা-ব্যারোর ধারণাকে গাণিতিক কাঠামো দেন। লাইবনিজের চিহ্নপদ্ধতি ${\frac {dy}{dx}}$ ও নিউটনের ফ্লাক্সিয়ন ক্যালকুলাস বিজ্ঞান ও প্রকৌশলে বিপ্লব আনে। ফার্মার e এবং ব্যারোর 'অসীম ক্ষুদ্র'ই ছিল সেই স্ফুলিঙ্গ, যা নিউটন-লাইবনিজের হাতে মহাবিস্ফোরণে রূপ নেয়!
  • জোসেফ লুই ল্যাগ্রেঞ্জ, "Lecons sur le calcul des fonctions," leçon dix-huitiéme, (Euvres de Lagrange, publiées par J.A. Serret, Tome X, পৃষ্ঠা ২৯৪, ফ্লোরিয়ান ক্যাজোরি দ্বারা অনূদিত:, "ক্যালকুলাসের প্রথম আবিষ্কারক কে ছিলেন?" "দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি" (জানুয়ারী ১৯১৯) খণ্ড ২৬, নং ১, পৃষ্ঠা ১৫-২০

• এই মহান জ্যামিতিবিদ ভুজের বৃদ্ধিকে E চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করেছেন। এই বৃদ্ধির প্রথম ঘাত বিবেচনা করে, তিনি ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের মতোই সঠিকভাবে বক্ররেখার উপ-স্পর্শক, ইনফ্লেকশন (পরিবর্তন) বিন্দু, এবং সাধারণভাবে যেকোনো যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করেন। Collection of the Letters of Descartes-এ সন্নিবেশিত আলোর প্রতিসরণ সমস্যা নিয়ে তার সুন্দর সমাধান থেকে বোঝা যায়, তিনি অমূলদ ফাংশনের ক্ষেত্রেও তার পদ্ধতি প্রয়োগ করতে জানতেন—মূলগুলিকে ঘাতে উন্নীত করে সেগুলো থেকে অমূলদতা দূর করতেন।
  সুতরাং, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের প্রকৃত আবিষ্কারক হিসেবে ফার্মাকেই স্বীকৃতি দেওয়া উচিত। নিউটন পরবর্তীতে তার ফ্লাক্সিয়নের পদ্ধতিতে এই ক্যালকুলাসকে আরও বিশ্লেষণধর্মী করে তোলেন এবং দ্বিপদী উপপাদ্যের মাধ্যমে পদ্ধতিগুলোকে সরলীকরণ ও সার্বজনীন রূপ দেন। প্রায় একই সময়ে, লাইবনিজ ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসকে সমৃদ্ধ করেন একটি অভিনব চিহ্নপদ্ধতি দ্বারা, যা সসীম থেকে অসীম ক্ষুদ্রের দিকে যাত্রাকে নির্দেশ করে। এই চিহ্নপদ্ধতির সুবিধা হলো—এটি ক্যালকুলাসের সাধারণ ফলাফল প্রকাশের পাশাপাশি, ডিফারেন্স (পার্থক্য) ও সমষ্টির প্রাথমিক আনুমানিক মানও প্রকাশ করে। এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে আংশিক ডিফারেনশিয়াল (Partial Differentials) ক্যালকুলাসের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ।
  • পিয়েরে সাইমন ল্যাপ্লেস, এসাই ফিলোসফিক সুর লে ক্যালকুল ডেস প্রোবাবিলিটিস (১৮১২) Tr. F.W. Truscott এবং F.L. Emory, A Philosophical Essay on Probabilities (১৯০২) প্রথম খণ্ড, পঞ্চম অধ্যায়, পৃ. ৪৬। ফ্লোরিয়ান ক্যাজোরি উদ্ধৃত করেছেন, ibid।

• আমি ফার্মার স্পর্শক অঙ্কনের পদ্ধতি থেকে এই [ফ্লাক্সিয়নের পদ্ধতির] ইঙ্গিত পেয়েছিলাম। এটি আমি বিমূর্ত সমীকরণে সরাসরি ও বিপরীতভাবে প্রয়োগ করে একে একটি সার্বজনীন পদ্ধতিতে রূপ দিই।
  • আইজ্যাক নিউটন; লুই ট্রেনচার্ড মোরের উদ্ধৃতি অনুসারে, আইজ্যাক নিউটন, একটি জীবনী (১৯৩৪) পৃষ্ঠা ১৮৫, নোট ৩৫

• ফার্মাকে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান এবং স্পর্শক নির্ণয়ের পদ্ধতির জন্য ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের উদ্ভাবক হিসেবে সম্মানিত করা হয়। তার এই পদ্ধতিই লাইবনিজের অ্যালগরিদমের (গাণিতিক প্রক্রিয়া) সবচেয়ে কাছাকাছি। একই যুক্তিতে তাকে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের উদ্ভাবক বলাও যৌক্তিক! তার "De æquationum localium transmutatione" নামক গবেষণাপত্রে বাই পার্টস ইন্টিগ্রেশন (integration by parts) এবং কিছু ইন্টিগ্রেশন নিয়ম উল্লেখ করা হয়েছে—তবে সেখানে চলকের সাধারণ ঘাত, সাইন ফাংশন ও তাদের ঘাতের ইন্টিগ্রেশনের সাধারণ সূত্রের কথা নেই।
  কিন্তু এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো: ফার্মার লেখায় অণুকলনের দুই শাখা—ডিফারেনশিয়াল ও ইন্টিগ্রাল—এর মধ্যকার সম্পর্ক নিয়ে একটি শব্দও খুঁজে পাওয়া যায় না। অর্থাৎ, তিনি আলাদাভাবে কিছু পদ্ধতি উদ্ভাবন করলেও, এই দুই শাখার গভীর সংযোগ বা পারস্পরিক নির্ভরতা প্রতিষ্ঠা করেননি।
  • পল ট্যানারি, "লা গ্র্যান্ডে এনসাইক্লোপিডি" (বার্থেলট), "ফার্ম্যাট"-এ ফ্লোরিয়ান ক্যাজোরি উদ্ধৃত করেছেন, "ক্যালকুলাসের প্রথম আবিষ্কারক কে ছিলেন?"

আরও দেখুন

• মৌলিক সংখ্যা
• র‍্যনে দেকার্ত
• ইউক্লিড
• আলহাজেন
• আইজ্যাক নিউটন