মৌলিক সংখ্যা

মৌলিক সংখ্যা হল এমন স্বাভাবিক সংখ্যা যেগুলো ১-এর চেয়ে বড় এবং শুধুমাত্র ১ ও সেই সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য (কোনো ভাগশেষ না রেখে)। অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার মাত্র দুটি স্বতন্ত্র উৎপাদক থাকে: ১ এবং সংখ্যাটি নিজে। উদাহরণস্বরূপ: ২ একটি মৌলিক সংখ্যা, কারণ এটি শুধু ১ ও ২ দিয়ে বিভাজ্য। ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ ইত্যাদিও মৌলিক সংখ্যা। ৪ মৌলিক নয়, কারণ এটি ১, ২, ও ৪ দিয়ে বিভাজ্য। উল্লেখ্য যে, ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। যে সংখ্যাগুলো মৌলিক নয় এবং ১-এর চেয়ে বড়, সেগুলোকে যৌগিক সংখ্যা বলে (যেমন: ৪, ৬, ৯)। ১ মৌলিক সংখ্যা নয়, কারণ এর মাত্র একটি উৎপাদক (১)। আবার ১ যৌগিক সংখ্যাও নয়। এটি একটি সহমৌলিক সংখ্যা।

৭ সংখ্যাটি তার নিচের কোন পূর্ণসংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাই ৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।

উক্তি

২ থেকে ১২টি বিন্দুর গ্রুপগুলোর মাধ্যমে দেখানো হয়েছে যে, যৌগিক সংখ্যাগুলোকে (৪, ৬, ৮, ৯, ১০, এবং ১২) আয়তাকার আকৃতিতে বিন্যস্ত করা যায়, কিন্তু মৌলিক সংখ্যাগুলোকে (২, ৩, ৫, ৭, ১১) যায় না।

• ইউক্লিডের দশম গ্রন্থে কিছু নির্দিষ্ট অমূলদ রাশি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। গ্রিকদের কাছে অমূলদ সংখ্যা প্রকাশের জন্য কোনো প্রতীকী ব্যবস্থা না থাকায়, ইউক্লিডকে এগুলোর জ্যামিতিক উপস্থাপনার আশ্রয় নিতে হয়েছিল। এই গ্রন্থের প্রস্তাবনা ১ থেকে ২১ সাধারণভাবে অনুপাতবিহীন রাশিসমূহের সাথে সম্পর্কিত। গ্রন্থের অবশিষ্ট অংশ, অর্থাৎ প্রস্তাবনা ২২ থেকে ১১৭, সেই সমস্ত রেখার সম্ভাব্য সকল প্রকারভেদের আলোচনায় নিবেদিত, যেগুলোকে ${\sqrt {({\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}})}}$ আকারে প্রকাশ করা যায়—যেখানে a ও b হলো সমন্বয়যোগ্য রেখা। এ ধরনের রেখার মোট ২৫টি প্রকারভেদ শনাক্ত করা সম্ভব ছিল, এবং ইউক্লিডের পক্ষে এগুলোর সবগুলোকে শনাক্ত ও শ্রেণিবদ্ধ করা—নেসেলম্যানের মতো প্রাজ্ঞ একজন ব্যক্তির মতে—তার প্রতিভার সবচেয়ে উজ্জ্বল দৃষ্টান্ত। অনুপাতবিহীন রাশির তত্ত্বে এরপর প্রায় হাজার বছরেরও বেশি সময় কোনো অগ্রগতি ঘটেনি, যতক্ষণ না লিওনার্দো ও কার্দানো এই বিষয়টি পুনরায় উদ্যোগ নিয়ে গবেষণা শুরু করেন। ইউক্লিডের দশম গ্রন্থের সর্বশেষ প্রস্তাবনায় (প্রস্তাবনা ১১৭) একটি বর্গের বাহু ও কর্ণের অনুপাতবিহীন হওয়ার প্রমাণ উপস্থাপন করা হয়েছে। এই প্রমাণটি এতই সংক্ষিপ্ত ও সরল যে নিম্নে এটি উল্লেখ করা যেতে পারে: ধরি, একটি বর্গের বাহু ও কর্ণের অনুপাত সমন্বয়যোগ্য, অর্থাৎ দুটি পূর্ণসংখ্যা a ও b-এর অনুপাত ${\frac {a}{b}}$ আকারে প্রকাশযোগ্য। এই অনুপাতকে এর সর্বনিম্ন পদে (লব-হর কাটাকাটি করে) বিবেচনা করা হলে, a ও b-এর মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ গুণনীয়ক থাকবে না; অর্থাৎ তারা পরস্পর মৌলিক হবে। ইউক্লিডের এলিমেন্টস বইয়ে ১-এর প্রস্তাবনা ৪৭ অনুসারে, $b^{2}=2a^{2}$। সুতরাং, $b^{2}$ একটি জোড় সংখ্যা; তাই b-ও অবশ্যই জোড় সংখ্যা। যেহেতু a ও b পরস্পর মৌলিক, সেহেতু a বিজোড় সংখ্যা হবে। b জোড় হওয়ায়, $b=2n$ (যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা) ধরলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $(2n)^{2}=2a^{2}\implies 4n^{2}=2a^{2}\implies a^{2}=2n^{2}$। এখানে $a^{2}$ জোড় সংখ্যা, তাই a-ও জোড়। কিন্তু এটি স্ববিরোধী কথা, কারণ a একই সাথে বিজোড় ও জোড় হতে পারে না। অতএব, প্রাথমিক অনুমান ভুল; অর্থাৎ বর্গের বাহু ও কর্ণ অনুপাতবিহীন। গণিতের ইতিহাসবিদ হ্যাঙ্কেল এই প্রমাণটি পিথাগোরাস-এর দেওয়া বলে মনে করেন। এই ধারণা যুক্তিসংগত, কারণ পিথাগোরীয়রা অমূলদ সংখ্যার ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত। ইউক্লিডের দশম গ্রন্থের ৯ নং প্রস্তাবনায় একই সিদ্ধান্ত ভিন্ন পদ্ধতিতে প্রমাণিত হয়েছে। এছাড়া অন্যান্য প্রমাণ ও প্রাসঙ্গিক যুক্তির ভিত্তিতে আধুনিক গবেষকদের মতে, এই প্রস্তাবনাটি পরবর্তী সময়ে কোনো ভাষ্যকারের সংযোজন হতে পারে।
  • ডব্লিউ. ডব্লিউ. রাউস বল,গণিতের ইতিহাসের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ (১৮৮৮),ফার্স্ট আলেকজান্দ্রিয়ান স্কুল পৃষ্ঠা ৬০

• ফের্মার শেষ উপপাদ্য অনুসারে, যদি n একটি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং ২-এর চেয়ে বড় হয়, তবে $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ সমীকরণটি সিদ্ধ করার মতো কোনো পূর্ণসংখ্যক মান $x,y,z$ পাওয়া সম্ভব নয়। ... সম্ভবত ফের্মা কোনো ভ্রান্ত ধারণার ভিত্তিতে এই উপপাদ্যটি প্রণয়ন করেছিলেন, যদিও এটাও অনুমানযোগ্য যে তিনি একটি সহজ গাণিতিক প্রমাণ খুঁজে পেয়েছিলেন। যাই হোক, তিনি দৃঢ়ভাবে দাবি করেছিলেন যে তাঁর কাছে একটি সহজ প্রমাণ রয়েছে—‘অসাধারণ একটি প্রমাণ’ (demonstratio mirabilis sane)—এবং এটা সত্য যে তাঁর উল্লিখিত কোনো উপপাদ্যই পরবর্তীতে ভুল প্রমাণিত হয়নি, তাই তা (বক্তব্য) তাঁর পক্ষে জোরালো যুক্তি বহন করে; বিশেষত এই কারণে যে তিনি তাঁর রচনায় একটি মাত্র ভুল দাবি করেছিলেন (বাইনারি সূচক সংক্রান্ত), এবং সেটির সন্তোষজনক প্রমাণ তিনি পাননি বলে স্বীকারও করেছিলেন। ... ফের্মার প্রস্তাবিত কিছু সরল ফলাফল প্রমাণ করতে এক শতাব্দীরও বেশি সময় লেগেছিল। তাই, জীবনের শেষপ্রান্তে তিনি যে উপপাদ্যটির প্রমাণে সফল হয়েছিলেন, সেটির গভীরতা ও জটিলতা স্বাভাবিক। ... তবে আমার ব্যক্তিগত অনুমান যে, ক্রমিক ভগ্নাংশ তাঁর গবেষণায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রেখেছিল। এই অনুমানকে শক্তিশালী করার জন্য উল্লেখ করা যায় যে, ফের্মার কিছু গূঢ় ফলাফল—যেমন $4n+1$ আকারের মৌলিক সংখ্যাকে দুটি বর্গের যোগফল হিসেবে প্রকাশযোগ্য—ক্রমিক ভগ্নাংশের ধর্ম ব্যবহার করে অপেক্ষাকৃত সহজেই প্রমাণ করা যায়।
  • ডব্লিউ. ডব্লিউ. রাউস বল,ম্যাথমেটিক্যাল রিক্রিয়েশনস এন্ড ইসেইজ (১৯২০) পৃষ্ঠা ৪০-৪৩

• মৌলিক সংখ্যাগুলি বুদ্ধিবৃত্তিক ধারণার এক অনন্য জগতের অন্তর্গত। আমরা এমন কিছু বিস্ময়কর ধারণার কথা বলছি, যেগুলোর বর্ণনা সহজ ও সুন্দর হলেও এদের বিস্তারিত বিশ্লেষণে চরম—এমনকি অকল্পনীয় জটিলতার মুখোমুখি হতে হয়। মৌলিক সংখ্যার মৌলিক ধারণা একটি শিশুরও বোধগম্য, কিন্তু কোনো মানুষের মনই এর পূর্ণাঙ্গ চিত্র ধারণ করতে পারে না। আধুনিক যুগে... গণনামূলক দিক থেকে মৌলিক সংখ্যাগুলিকে খুঁজে বের করা, তাদের বৈশিষ্ট্য নির্ণয় এবং প্রয়োগের লক্ষ্যে বিপুল পরিশ্রম নিয়োজিত হয়েছে।
  • রিচার্ড ক্র্যান্ডাল, কার্ল পোমেরেন্স, প্রাইম নাম্বারস: আ কম্পিউটেশনাল পারস্পেকটিভ (২০০৫)

• ১৮৫৯ সালে বার্নহার্ড রিমান বার্লিন একাডেমিতে একটি গবেষণাপত্র উপস্থাপন করেন—"একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের চেয়ে কম মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা সম্পর্কে"। ... রিমান সমস্যাটি সমাধানে তাঁর সময়ের সবচেয়ে অত্যাধুনিক গাণিতিক পদ্ধতি প্রয়োগ করেন... নিজের উদ্দেশ্যে একটি শক্তিশালী ও সূক্ষ্ম গাণিতিক বস্তু সৃষ্টি করে। ...[এবং] তিনি এই বস্তু সম্পর্কে একটি অনুমান প্রকাশ করে মন্তব্য করেন:

  এটির যুক্তিযুক্ত প্রমাণ পাওয়া নিঃসন্দেহে কাম্য, কিন্তু প্রাথমিক লক্ষ্য অর্জনের জন্য এটি অপ্রয়োজনীয় বিবেচনায় আমি কিছু ক্ষণস্থায়ী ব্যর্থ চেষ্টার পর প্রমাণের সন্ধান স্থগিত রেখেছি...

  এই অনুমানটি দশকের পর দশক প্রায় অবহেলিতই রয়ে যায়। এরপর... ধীরে ধীরে এটি গণিতবিদদের কল্পনাকে নাড়িয়ে দিতে থাকে... এক অপ্রতিরোধ্য ঢালে পরিণত হয়। ... রিমান অনুমান বিংশ শতাব্দী জুড়ে এবং আজও গণিতজ্ঞদের মনের গভীরে স্থান দখল করে আছে, যেখানে প্রতিটি প্রমাণ বা খণ্ডনের প্রচেষ্টা ব্যর্থতায় পর্যবসিত হয়েছে। বর্তমানে এটি গাণিতিক গবেষণার "সোনার হরিণ"—এক অনতিক্রম্য গূঢ় রহস্য!
  • জন ডার্বিশায়ার, প্রাইম অবসেশন: বার্নহার্ড রিম্যান এবং গণিতে সবচেয়ে বড় অমীমাংসিত সমস্যা (২০০৩)

• মৌলিক সংখ্যা হল সেই সংখ্যা যাকে শুধুমাত্র একটি একক (১) দ্বারা পরিমাপ করা যায়।
  _{[গ্রীক মূল: Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος.]}
  • ইউক্লিড, এলিমেন্টস, সপ্তম খণ্ড, সংজ্ঞা ১১ (কোনো কোনো সংস্করণে ১২)।

• $(a+b)\times (a-b)=a^{2}-b^{2}$...দুটি বর্গসংখ্যার পার্থক্য সর্বদা একটি প্রোডাক্ট (গুণফল) হিসেবে প্রকাশযোগ্য, এবং এটি ঐ দুটি বর্গের মূলের যোগফল $(a+b)$ ও বিয়োগফল $(a-b)$ উভয় দ্বারাই বিভাজ্য। ফলস্বরূপ, দুটি বর্গসংখ্যার পার্থক্য কখনই মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না।
  • লিওনহার্ড অয়লার, এলিমেন্টস অব অ্যালজেবরা (১৮১০) দ্বিতীয় সংস্করণ, খণ্ড ১, পৃষ্ঠা ১১৭।
    [সম্পাদকের টীকা:] এই উপপাদ্যটি সর্বজনীন নয়, কারণ যখন দুটি সংখ্যার পার্থক্য ১ হয় এবং তাদের যোগফল একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তখন স্পষ্ট হয় যে দুটি বর্গের পার্থক্যও একটি মৌলিক সংখ্যা: যেমন $6^{2}-5^{2}=11,\;7^{2}-6^{2}=13,\;9^{2}-8^{2}=17$, ইত্যাদি। প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা দুটি পূর্ণ সংখ্যার বর্গের পার্থক্য।

• গণিতবিদরা মৌলিক সংখ্যার মধ্যে কোনো ক্রম বা শৃঙ্খলা আবিষ্কারের জন্য আজ অবধি বহু বৃথা চেষ্টা করেছেন, এবং আমাদের বিশ্বাস করার যথেষ্ট কারণ রয়েছে যে এটি এমন একটি রহস্য, যা মানব মনের পক্ষে কখনোই উদ্ঘাটন করা সম্ভব নয়।
  • লিওনহার্ড অয়লার, জি. সিমন্সের উদ্ধৃতি অনুসারে, ক্যালকুলাস জেমস (১৯৯২)

• এবং এই প্রস্তাবনাটি সমস্ত (মৌলিক সংখ্যার) ক্রম ও সমস্ত মৌলিক সংখ্যার জন্য সাধারণভাবে সত্য; এর প্রমাণ আমি আপনার কাছে পাঠাতাম, যদি তা অত্যধিক দীর্ঘ না হওয়ার আশঙ্কা না থাকত।
  _{[ফরাসি মূল: Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.]}
  • পিয়ের দ্য ফার্মা, ফ্রেনিকল ডি বেসিকে লেখা চিঠি (১৮ অক্টোবর, ১৬৪০)। ফার্মার এই বক্তব্যের উপর মন্তব্য করে যে: p, (a ^p−1 − 1)কে ভাগ করে যখন p মৌলিক সংখ্যা এবং a ও p পরস্পর সহমৌলিক হয়, যা এখন ফার্মার লিটল থিওরেম নামে পরিচিত।

• মৌলিক সংখ্যা ও যৌগিক সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করা এবং যৌগিক সংখ্যাগুলোকে তাদের মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার সমস্যাটি পাটিগণিতের সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ ও উপযোগী সমস্যাগুলোর মধ্যে একটি হিসেবে স্বীকৃত। প্রাচীন ও আধুনিক গণিতবিদদের শ্রম ও প্রজ্ঞা এ সমস্যা নিয়ে এতটাই নিবেদিত হয়েছে যে এ বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা নিষ্প্রয়োজন। … তাছাড়া, এত সুন্দর ও খ্যাতিমান একটি সমস্যার সমাধানে সমস্ত সম্ভাব্য পদ্ধতি অন্বেষণ করাকেই বিজ্ঞানের মর্যাদার অঙ্গীভূত দাবি বলে মনে হয়।
  • কার্ল ফ্রিডরিশ গাউস, ডিসকুইজিশনস অ্যারিথমেটিকা (১৮০১): আর্টিকেল ৩২৯।

• হজ কোহোমোলজি, বীজগণিতিক দ্য রাম কোহোমোলজি, ক্রিস্টালাইন কোহোমোলজি, এবং প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা ℓ-এর জন্য এটেল ℓ-এডিক কোহোমোলজি তত্ত্ব ... বীজগণিতিক জ্যামিতিতে বিদ্যমান সকল কোহোমোলজি তত্ত্বকে একত্রিত করার একটি কৌশল প্রাথমিকভাবে প্রণয়ন করেছিলেন আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক। তিনিই মূলত এই অসাধারণ সকল কোহোমোলজিকাল যন্ত্রপাতি গঠনের ভিত্তি রচনা করেন। গ্রোথেন্ডিক এমন একটি একক তত্ত্বের সন্ধান করেছিলেন যা প্রকৃতিগতভাবে কোহোমোলজিকাল এবং যা বীজগণিতিক জ্যামিতি ও বিশেষ বিশেষ কোহোমোলজি তত্ত্বসমূহের (যেমন উপরের তালিকাভুক্ত তত্ত্বগুলি) মধ্যে একটি প্রবেশদ্বার হিসেবে কাজ করবে— এবং যে তত্ত্ব এই সমস্ত কোহোমোলজিকাল ব্যবস্থার পিছনে মোটিভ হিসেবে কাজ করবে।
  • ব্যারি মাজুর, হোয়াট ইজ... আ মোটিভ?" (২০০৪) নোটিসেস অফ দ্য এএমএস খণ্ড ৫১, নং ১০, পৃষ্ঠা ১২১৪–১২১৬।

• এটি গণিতের সাংস্কৃতিক দিকটিকে জোরালোভাবে উপস্থাপনের একটি অত্যন্ত প্রশংসনীয় লক্ষ্য নিয়ে রচিত। ...এখানে অতিরিক্ত সংখ্যা ও ত্রুটিপূর্ণ সংখ্যার সংজ্ঞাগুলোর মধ্যে ব্যাপক বিনিময় পরিলক্ষিত হয়। ...এতে উল্লেখ করা হয়েছে যে ইউক্লিড দাবি করেছিলেন যে প্রতিটি নিখুঁত সংখ্যা অবশ্যই $2^{n-1}(2^{n}-1)$ আকারের হয়। এটা সত্য যে ইউক্লিড প্রমাণ করেছিলেন—যখন $2^{n}-1$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তখন এই আকারের সংখ্যাগুলো নিখুঁত হয়—কিন্তু তিনি কখনোই দাবি করেননি যে অন্য কোনো নিখুঁত সংখ্যা নেই। এই দাবির সমর্থনে কোনো ঐতিহাসিক প্রমাণ পাওয়া যায় না। ...এতে বলা হয়েছে যে গণিতের সংখ্যায়ন শুরু হয়েছিল গত শতকের ষাটের দশকে ভাইয়ারশ্ট্রাসের হাত ধরে। তবে, এই আন্দোলন তার চেয়ে অনেক পুরোনো, যা সম্প্রতি এইচ. ভিলাইটনার তাঁর গবেষণায় জোর দিয়েছেন। ...এতে দাবি করা হয়েছে যে ডায়োফ্যান্টাসের 'অ্যারিথমস' (ἀριθμός) ও ফিবোনাচ্চির 'রেস' (res) শব্দদুটির অর্থ ছিল পূর্ণসংখ্যা, এবং ...এটি বলা হয়েছে যে ভিয়েতের পূর্ববর্তী সময়ে সমস্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ শুধুমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ ছিল। কিন্তু বাস্তবে, সাধারণ ভগ্নাংশ নিয়ে ক্রিয়াকলাপ প্রাচীনতম গাণিতিক রেকর্ডগুলিতেই পাওয়া যায়।
  • জি. এ. মিলার, Number: The Language of Science (১৯৩১) এর পর্যালোচনা, Bull. Amer. Math. Soc. খন্ড ৩৭, সংখ্যা

• পাটিগণিতের সহজ সমস্যাগুলোর গভীর বিশ্লেষণের জন্যও উচ্চতর গণিতের প্রয়োগ প্রয়োজন হতে পারে। এ সম্পর্কে একটি চমকপ্রদ উদাহরণ হলো "মৌলিক সংখ্যার বণ্টন" সংক্রান্ত সমস্যা। এই সমস্যার সমাধান নির্ভর করে একটি সর্বজনীন সূত্রের সন্ধানে, যা যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাগত পরিসরে থাকা মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ নির্ণয় করবে।...এডমুন্ড লান্ডাউ তাঁর সময়ের সবচেয়ে অত্যাধুনিক গণিত ব্যবহার করে এই সমস্যা নিয়ে দুটি বিশাল গ্রন্থ রচনা করেছিলেন, কিন্তু সমাধান করতে ব্যর্থ হয়েছিলেন। এমনকি গণিতের প্রাথমিক স্তরেও আমরা এমন জটিল বিষয়ের সম্মুখীন হই, যা আমাদের গাণিতিক দক্ষতাকে চূড়ান্ত পরীক্ষার সম্মুখীন করে।
  • লয়েড মটজ এবং জেফারসন হ্যান ওয়েভার, কনকারিং ম্যাথমেটিক্স: ফ্রম অ্যারিথমেটিক টু ক্যালকুলাস (1991) রেফারেন্স হ্যান্ডবুচ ডের লেহেরে ভন ডের ভার্টিলুং ডের প্রিমজাহেলেন (1909) খন্ড ১ এবং ২।

• যদিও আমি দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করি যে 'বোকা প্রশ্ন' বলে কিছু নেই, তবে 'বোকা উত্তর' অবশ্যই থাকতে পারে। এর একটি উদাহরণ হলো ৪২। এটি শুধু ডগ অ্যাডামসের হিচহাইকার্স গাইড-এর একটি নিম্নমানের নকলই নয়, বরং এটি একটি মৌলিক সংখ্যাও নয়। সকলেই নিশ্চয়ই জানে যে গভীর দার্শনিক প্রশ্নের সংখ্যাগত উত্তর সর্বদা মৌলিক সংখ্যা হয়। (সঠিক উত্তর হলো ৩৭।)
  • ডোনাল্ড নরম্যান, "দ্য ডন" রিভিলস অল: পর্ব ১।

• এর্ডশের একটি কম-পরিচিত 'উক্তি' রয়েছে, যা তিনি কখনোই বলেননি—এটা আমি নিজেই বানিয়েছিলাম!...একটি বক্তৃতায় আমি এর্ডশ ও সংখ্যা তত্ত্ব নিয়ে আলোচনা করছিলাম এবং ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করছিলাম যে এর্ডশ-ক্যাক থিওরেম কতটা বিস্ময়কর...
  [স্লাইডে প্রদর্শিত] আইনস্টাইন: ”ঈশ্বর মহাবিশ্বের সাথে পাশা খেলেন না।”
  তারপর আমি বললাম: 'আমি ভাবতে চাই যে এর্ডশ ও ক্যাক জবাব দিয়েছিলেন...'
  [পরবর্তী স্লাইড] এর্ডশ ও ক্যাক: ”হতে পারে, কিন্তু মৌলিক সংখ্যাদের সাথেও কোনো এক অদ্ভুত খেলা চলছে!”
  ...কোনোভাবে পরের দিন সান ডিয়েগোর সংবাদপত্র এটি ধরে ফেলল এবং এটিকে এর্ডশের আসল উক্তি হিসেবে চালিয়ে দিল!
  • কার্ল পোমেরেন্স, ২০০৮ সালের ফেব্রুয়ারিতে গেরি মায়ারসনের লেখা একটি পোমেরেন্স কমিউনিকেশন-এ, এর্ডশের মৃত্যুর পর সান দিয়েগোতে যৌথ গণিত সভার (জানুয়ারী, ১৯৯৭) তাৎক্ষণিক স্মরণে বর্ণনা দেন। ম্যাথিউ আর. ওয়াটকিন্সের নজরে এনেছিলেন গেরি মায়ারসন।

• মহোদয়,
  আমি নিজেকে আপনার সাথে পরিচয় করিয়ে দিতে চাই একজন হিসাবরক্ষক হিসেবে, মাদ্রাজ বন্দর ট্রাস্ট অফিসের হিসাব বিভাগে কর্মরত... আমার বিশ্ববিদ্যালয় শিক্ষা নেই, তবে সাধারণ স্কুল শিক্ষা গ্রহণ করেছি। স্কুলের পড়াশোনা শেষ করার পর, আমি আমার অবসর সময় গণিত চর্চায় ব্যয় করেছি। বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রচলিত প্রথাগত পাঠ্যক্রম অনুসরণ না করে, আমি নিজের জন্য একটি নতুন পথ বেছে নিয়েছি। আমি বিশেষভাবে অপসারী শ্রেণী (divergent series) নিয়ে গবেষণা করেছি, এবং আমার প্রাপ্ত ফলাফল স্থানীয় গণিতবিদদের কাছে 'চমকপ্রদ' বলে আখ্যায়িত হয়েছে। ...সম্প্রতি আপনার লেখা 'অর্ডার্স অফ ইনফিনিটি' নামক গ্রন্থের ৩৬ পৃষ্ঠায় একটি উক্তি দেখেছি যে, "কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যার চেয়ে কম মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য এখনও কোনো সুনির্দিষ্ট অভিব্যক্তি পাওয়া যায়নি।" আমি একটি অভিব্যক্তি খুঁজে পেয়েছি যা প্রকৃত ফলাফলের অত্যন্ত কাছাকাছি, যেখানে ত্রুটি নগণ্য। আমি অনুরোধ করবো, সংযুক্ত কাগজপত্রগুলো আপনি পরীক্ষা করে দেখুন। আর্থিকভাবে অসচ্ছল হওয়ায়, যদি আপনি এতে কোনো মূল্যবান উপাদান খুঁজে পান, তবে আমার উপপাদ্যগুলো প্রকাশের ইচ্ছা রাখি। আমি আমার প্রকৃত গবেষণা বা প্রাপ্ত অভিব্যক্তি সরাসরি উল্লেখ করিনি, তবে আমার অনুসৃত পদ্ধতির রূপরেখা নির্দেশ করেছি। অনভিজ্ঞ হওয়ায়, আপনার কোনো পরামর্শ আমার জন্য অত্যন্ত মূল্যবান হবে। আপনাকে হয়রানি করার জন্য ক্ষমাপ্রার্থী।
  বিনীত,
  [আপনার একনিষ্ঠ]
  • শ্রীনিবাস রামানুজন, জি. এইচ. হার্ডি কে লেখা চিঠি, (১৬ জানুয়ারী, ১৯১৩), রামানুজন: লেটারস অ্যান্ড কমেন্টারি আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটি (১৯৯৫) হিস্ট্রি অফ ম্যাথমেটিক্স, খণ্ড ৯-এ প্রকাশিত।

• বর্তমান গবেষণাটি এডমুন্ড লান্ডাউর বিখ্যাত গ্রন্থ Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen (মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সংক্রান্ত শিক্ষার হ্যান্ডবুক)-এর দ্বারা অনুপ্রাণিত, যেখানে তিনি কোসাইন বহুপদীর উপর দুটি চরম সমস্যা উপস্থাপন করেছিলেন এবং চরম রাশির পরিচিত অনুমান ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত বিভিন্ন অনুমান উদ্ভাবন করেছিলেন। যদিও বর্তমানে মৌলিক সংখ্যার সূত্রের ত্রুটি পদের জন্য আরও উন্নত তাত্ত্বিক ফলাফল পাওয়া যায়, তবুও স্পষ্ট সীমা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে লান্ডাউর পদ্ধতি এখনও সর্বোত্তম। বিশেষত, রসার ও শোনফেল্ড তাদের গবেষণাপত্র Approximate formulas for some functions of prime numbers (মৌলিক সংখ্যার কিছু ফাংশনের আসন্ন সূত্র)-এ এই পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলেন।
  • সিলার্ড রেভেস, "কিছু অঋণাত্মক কোসাইন বহুপদী এবং সমতুল্য দ্বৈত সমস্যার শূন্যে সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান," সারাংশ, "জার্নাল অফ ফুরিয়ার এনালাইসিস এন্ড অ্যাপ্লিকেশনস: কাহানে স্পেশাল ইস্যু" (১৯৯৫) জন জে. বেনেডেটো, সম্পাদক।

• আমি বিশ্বকে শেখাতে চাই কিভাবে ২০০০ বছরেরও বেশি আগে গ্রিক গণিতবিদরা প্রমাণ করেছিলেন যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অসীম। আমার মতে, এই আবিষ্কারটি গণিতের সূচনাবিন্দু—যখন মানবজাতি উপলব্ধি করেছিল যে, শুধুমাত্র বিশুদ্ধ যুক্তির মাধ্যমে মহাবিশ্বের চিরন্তন সত্য প্রমাণ করা সম্ভব।
  মৌলিক সংখ্যা হল এমন অবিভাজ্য সংখ্যা যেগুলো কেবল নিজে এবং ১ দ্বারা বিভাজ্য। গণিতে এরা সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ, কারণ প্রতিটি সংখ্যাই মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হিসেবে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, $60=2\times 2\times 3\times 5$। এরা যেন পাটিগণিতের পরমাণু—সংখ্যার জগতের হাইড্রোজেন ও অক্সিজেন।
  • মার্কাস ডু সাউটয়, "জীবনের পাঠ" দ্য গার্ডিয়ান (৭ এপ্রিল, ২০০৫)

• আমাদের হাতে এমন কোনো জাদুকরী সূত্র নেই যা দিয়ে সহজেই মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করা যায়। বরং, পরবর্তী মৌলিক সংখ্যাটি কোথায় থাকবে তা নির্ণয় করা গণিতের ইতিহাসের সবচেয়ে বড় রহস্যগুলোর মধ্যে একটি। ...মৌলিক সংখ্যার এই চ্যালেঞ্জ মূলত গণিতের সমগ্র ক্ষেত্রে চূড়ান্ত ধাঁধা হিসেবে বিবেচিত।
  • মার্কাস ডু সাউটয়,দ্য মিউজিক অফ দ্য প্রাইমস (৮ মে, ২০০৮) ক্লে পাবলিক লেকচারস, ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউট @ইউটিউব

আ হিস্ট্রি অব ম্যাথমেটিক্স (১৮৯৩)

— ফ্লোরিয়ান কাজোরি, সূত্র.

• ইউক্লিডের এলিমেন্টস গ্রন্থে মোট তেরোটি বই অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। এগুলোর মধ্যে দুটি বইয়ের রচয়িতা হিসেবে হিপসিক্লিস ও ডামাস্কাস-এর নাম উল্লেখ করা হয়। ...সপ্তম, অষ্টম ও নবম বই সংখ্যা তত্ত্ব বা পাটিগণিত বিষয়ক আলোচনা দ্বারা ভরপুর। নবম বইতে "অসীমসংখ্যক মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান"—এই উপপাদ্যটির প্রমাণ পাওয়া যায়।
  • পৃষ্ঠা ৩৮

• এরাটোস্থিনিস, যিনি আর্কিমিডিসের চেয়ে এগারো বছর ছোট ছিলেন, সাইরিন নগরীর অধিবাসী ছিলেন। তিনি... কক্ষপথের নতি (অয়নকোণ) পরিমাপ করেছিলেন এবং মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের কৌশল (যেমন: এরাটোস্থিনিসের চালনি) উদ্ভাবন করেছিলেন। ...বৃদ্ধ বয়সে তিনি দৃষ্টিশক্তি হারান এবং এই কারণে ইচ্ছাকৃত উপবাসের মাধ্যমে আত্মহত্যা করেছিলেন বলে কথিত আছে।
  • পৃষ্ঠা ৪৪

• ফার্মা এই বিশ্বাস নিয়ে মৃত্যুবরণ করেন যে তিনি মৌলিক সংখ্যার একটি দীর্ঘকাল অনুসন্ধানকৃত সূত্র খুঁজে পেয়েছেন, যা হলো $2^{2^{n}}+1$ আকারের সংখ্যাগুলো মৌলিক। তবে তিনি স্বীকার করেছিলেন যে তিনি এটির অকাট্য গাণিতিক প্রমাণ দিতে ব্যর্থ হয়েছেন। এই সূত্রটি সঠিক নয়, যা অয়লার একটি উদাহরণের মাধ্যমে প্রদর্শন করেছিলেন: $2^{2^{5}}+1=4,294,967,297=6,700,417\times 641$। (অর্থাৎ, এই সংখ্যাটি যৌগিক)। আমেরিকান মানব ক্যালকুলেটরখ্যাত জেরাহ কলবার্ন শিশুবয়সেই এই উৎপাদক দুটি খুঁজে পেয়েছিলেন, কিন্তু তিনি কী পদ্ধতিতে এই অদ্ভুত মানসিক গণনা করেছিলেন তা ব্যাখ্যা করতে পারেননি।
  • পৃষ্ঠা ১৮০

দ্য মিউজিক অব দ্য প্রাইমস (২০০৩)

"গণিতে একটি অমীমাংসিত সমস্যা কেন গুরুত্বপূর্ণ" — মার্কাস ডু সাউটয়

• রিমানের অন্তর্দৃষ্টি এসেছিল একটি গাণিতিক দর্পণ আবিষ্কারের পর, যার মাধ্যমে তিনি মৌলিক সংখ্যাদের গভীরে অবলোকন করতে পেরেছিলেন। ...এই আয়নার ওপারের অদ্ভুত গাণিতিক জগতে, মৌলিক সংখ্যাদের বিশৃঙ্খলা যেন একটি সুবিন্যস্ত নকশায় রূপান্তরিত হয়েছিল—যেকোনো গণিতবিদের প্রত্যাশার চেয়েও সুন্দর। তিনি অনুমান করেছিলেন যে এই শৃঙ্খলা অক্ষুণ্ণ থাকবে, আয়নার ওপারের অন্তহীন বিশ্বের দিকে যত দূরেই তাকানো হোক না কেন। তাঁর এই অন্তর্নিহিত ভবিষ্যদ্বাণী... বাইরে থেকে মৌলিক সংখ্যাদের বিশৃঙ্খল রূপকে ব্যাখ্যা করত। এই রূপান্তর, যেখানে বিশৃঙ্খলা শৃঙ্খলায় পরিণত হয়, অধিকাংশ গণিতবিদের কাছে প্রায় অলৌকিক বলে মনে হয়। রিমান গণিতজগতের জন্য যে চ্যালেঞ্জ রেখে গেছেন, তা হলো—তিনি যে শৃঙ্খলা প্রত্যক্ষ করেছিলেন, তা প্রকৃতপক্ষে বিদ্যমান কিনা তা প্রমাণ করা।
  • পৃষ্ঠা ৯

• গাউস "সংখ্যা তত্ত্ব"কে 'গণিতের রানী' বলতে পছন্দ করতেন। গাউসের কাছে, মুকুটের রত্নগুলি ছিল মৌলিক সংখ্যা, যা বহু প্রজন্ম ধরে গণিতবিদদের মুগ্ধ এবং বিমোহিত করেছে।
  • পৃষ্ঠা ২২

• মৌলিক সংখ্যার টেবিলগুলো হাতে নিয়ে, গাউস তার অনুসন্ধান শুরু করলেন। মৌলিক সংখ্যাগুলোর অনুপাতের দিকে তাকালে তিনি দেখতে পেলেন যে, যখন তিনি উচ্চতর থেকে উচ্চতর গণনা করলেন, তখন একটি প্যাটার্ন আবির্ভূত হতে শুরু করল। এই সংখ্যাগুলোর বিশৃঙ্খলা সত্ত্বেও, কুয়াশাচ্ছন্ন দশা হতে একটি আশ্চর্যজনক নিয়মানুবর্তিতা দৃষ্টিগোচর হতে লাগল।

• মৌলিক সংখ্যাগুলো অপ্রত্যাশিতভাবে ছড়িয়ে থাকলেও তাদের গণনাকারী গ্রাফটি যেভাবে মসৃণভাবে বৃদ্ধি পায়, তা গণিতের সবচেয়ে অলৌকিক আবিষ্কারগুলোর একটি এবং মৌলিক সংখ্যার ইতিহাসের একটি উল্লেখযোগ্য অধ্যায়। গাউস তাঁর লগারিদম বইয়ের শেষ পৃষ্ঠায় N-এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্রটি (লগারিদম ফাংশনের মাধ্যমে) লিপিবদ্ধ করেছিলেন। তবে এই আবিষ্কারের গুরুত্ব সত্ত্বেও, গাউস কাউকে তাঁর এই খোঁজের কথা জানাননি। পৃথিবী শুধু তাঁর একটি রহস্যপূর্ণ মন্তব্য শুনেছিল:লগারিদমের টেবিলে কতটা কবিতা লুকিয়ে আছে, তার ধারণাও তোমার নেই!

• হতে পারে, আমরা গাউস ও রিমানের দৃষ্টিভঙ্গিতে মৌলিক সংখ্যাগুলোকে দেখতে দেখতে এতটাই অভ্যস্ত হয়ে গেছি যে এই রহস্যময় সংখ্যাগুলোকে বোঝার একটি ভিন্ন পথ আমাদের চোখ এড়িয়ে যাচ্ছে। গাউস মৌলিক সংখ্যার আনুমানিক পরিমাণ নির্ণয়ের একটি সূত্র দিয়েছিলেন, রিমান ভবিষ্যদ্বাণী করেছিলেন যে এই আনুমানিক মান প্রকৃত মান থেকে সর্বোচ্চ N-এর বর্গমূল পরিমাণ বিচ্যুত হতে পারে, আর লিটলউড প্রমাণ করেছিলেন যে এর চেয়ে ভালো নির্ভুলতা অর্জন করা অসম্ভব। হতে পারে, এমন কোনো বিকল্প দৃষ্টিভঙ্গি এখনও কেউ খুঁজে পায়নি—কারণ আমরা গাউসের গড়ে তোলা গাণিতিক কাঠামোর সাথে সাংস্কৃতিকভাবে এতটাই আবদ্ধ হয়ে পড়েছি যে নতুন পথের সন্ধান আমাদের পক্ষে দুষ্কর হয়ে উঠেছে।

• ১৯৯৭ সালের বসন্তে, আলাঁ কনে তাঁর নতুন ধারণাগুলো ব্যাখ্যা করার জন্য প্রিন্সটনে গিয়েছিলেন বিশিষ্ট গণিতবিদ এনরিকো বম্বিয়েরি, আটলে সেলবার্গ এবং পিটার সার্নাক-এর সাথে দেখা করতে। সেই সময় প্রিন্সটন ছিল রিমান অনুমানের অপ্রতিদ্বন্দ্বী তীর্থস্থান। সেলবার্গ এই সমস্যার গডফাদার হিসেবে পরিগণিত হয়েছিলেন—একজন ব্যক্তি যিনি অর্ধশতাব্দী ধরে মৌলিক সংখ্যার রহস্যের সাথে যুদ্ধ করেছিলেন। সার্নাক সম্প্রতি নিক কাৎজ-এর সাথে যুক্ত হয়েছিলেন, যিনি আঁদ্রে ভেইল ও আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিক-এর উন্নীত গাণিতিক তত্ত্বের একজন স্বীকৃত শিক্ষক। একত্রে তারা প্রমাণ করেছিলেন যে, "এলোমেলো ড্রামের পরিসংখ্যান" (যা রিমানের জগতে শূন্যস্থানের বিন্যাস বর্ণনা করে) ভেইল ও গ্রোথেন্ডিকের বিবেচিত গাণিতিক জগতেও বিদ্যমান। কাৎজ সেই ব্যক্তি যিনি কয়েক বছর আগে অ্যান্ড্রু ওয়াইলস-এর ফের্মার শেষ উপপাদ্যের প্রথম ভুল প্রমাণে ত্রুটি খুঁজে দিয়েছিলেন। আরও ছিলেন বম্বিয়েরি, রিমান অনুমানের অপ্রতিদ্বন্দ্বী কর্তৃস্থানীয়। মৌলিক সংখ্যার প্রকৃত সংখ্যা ও গাউসের অনুমানের মধ্যকার ত্রুটি নিয়ে তাঁর যুগান্তকারী কাজ (রিমান হাইপোথিসিস অন এভারেজ-এর প্রমাণ) এর জন্য তিনি পেয়েছিলেন ফিল্ডস মেডেল। কাৎজের মতো বম্বিয়েরিও ছিলেন সূক্ষ্ম দৃষ্টিসম্পন্ন।
  • পৃষ্ঠা ১৮৪

বহিঃসংযোগ

• প্রাইম নাম্বার @এনসাইক্লোপিডিয়া অব ম্যাথমেটিক্স
• প্রাইম পেজেস @ইউনিভার্সিটি অব টেনেসি
• প্রাইম নাম্বার্স, "ইন আউয়ার টাইম" @বিবিসি
• Plus teacher and student package: prime numbers, প্লাস, ফ্রি অনলাইন গণিত ম্যাগাজিন, মিলেনিয়াম গণিত প্রোজেক্ট @ইউনিভার্সিটি অব ক্যামব্রিজ
• Unbounded Gaps Between Primes, রেমিংটন হেলের মৌলিক প্যাটার্ন এবং মৌলিক সমীকরণের পরিচিতি।